Результат интеллектуальной деятельности: ПЛАНАРНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ

Изобретение относится к пассивной элементной базе устройств радиотехники и связи и может найти широкое применение в различных усилителях, смесителях и RLC-фильтрах ВЧ и СВЧ диапазонов, радиоприемниках и радиопередатчиках и т.п.

В современных устройствах связи и телекоммуникаций в структуре «систем на кристалле» или «систем в корпусе» широко используются планарные индуктивности (L), которые (для повышения численных значений L) реализуются на диэлектрической подложке в виде многовитковых круглых, спиральных [1-4], квадратных [5-17] или более сложных геометрических форм, например ортогональных спиралей [18-24]. В ряде случаев интегральная индуктивность, предназначенная для СВЧ диапазона, выполняется в виде одного витка из напыляемой на подложку металлической пленки [25-33], образующей токовое кольцо. Однако такое конструктивно-технологическое решение уменьшает численное значение L до единиц наногенри (0,5-3,5 нГн для микронных геометрических размеров). Для получения в одном слое, например, L=2 нГн требуется площадь 100 мкм на 100 мкм, что соответствует поверхностной плотности индуктивности 0,2 Гн/м² [34].

Ближайшим прототипом заявляемого устройства является интегральная индуктивность в виде одного витка (фиг. 1), представленная в учебном пособии «Автоматизированное проектирование интегральных катушек индуктивности для аналоговой микроэлектроники СВЧ диапазона: Ч.1 Разработка и анализ топологии индуктивного элемента на основе БиКМОП технологии в среде ADS2005A» / Д.Н. Конев, А.С. Будяков, Н.Н. Прокопенко. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007 г., с. 37, рис. 9.4. Кроме этого, данная конструкция одновитковой интегральной индуктивности описана в других публикациях и патентах [25-33].

Существенный недостаток известного устройства фиг. 1 состоит в том, что индуктивность (L) данной конструкции в диапазоне геометрических размеров от 20 до 100 мкм имеет малые значения (0,5-3,5 нГн). Это ограничивает области ее практического использования в «системах на кристалле». Функциональные зависимости L такой конструкции, представленные в упомянутом выше методическом пособии, показывают, что L зависит от диаметра витка и его ширины, но при этом не может быть существенно увеличена за счет изменения ее геометрических размеров в указанном диапазоне (20÷100 мкм).

Основная задача предлагаемого изобретения состоит в увеличении численных значений L планарной индуктивности, реализуемой как минимум в виде одного витка, расположенного на изолирующей подложке.

Поставленная задача достигается тем, что в планарной индуктивности, содержащей как минимум один виток (1) из металлической пленки толщиной h₁, расположенный на изолирующей подложке 2, первый 3 и второй 4 выводы интегральной индуктивности для ее включения в электронную схему, предусмотрены новые конструктивные элементы - во внутреннюю область витка 1 из металлической пленки толщиной h₁ введена дополнительная тонкая пленка 5 толщиной h₂<<h₁ из материала, обладающего заданной электропроводностью и не имеющего электрического контакта с витком 1 планарной индуктивности.

По существу в настоящем изобретении предлагается увеличить в 5-50 раз поверхностную плотность индуктивности путем расположения на той же площади кристалла дополнительной тонкой пленки 5. Причем толщина h₂ этой пленки должна находиться в диапазоне от десятков до сотен нанометров. При других значениях толщины h₂ заявляемый положительный результат не обеспечивается, т.к. он связан с наноразмерными эффектами.

На фиг. 1 представлен вид сверху типовой конструкции планарной индуктивности-прототипа. Здесь, а также на фиг. 2-5 приняты следующие обозначения: R - радиус дополнительной тонкой пленки 5, h₂ - ее толщина; R₁ - внутренний радиус витка 1 (токового кольца) из металлической пленки толщиной h₁, R₂ - внешний радиус витка 1 (токового кольца) из металлической пленки толщиной h₁; 2 - изолирующая подложка (например, из сапфира); 3 и 4 - первый (3) и второй (4) выводы интегральной индуктивности для ее включения в электронную схему.

На фиг. 2 приведен вид сверху конструкции заявляемого устройства, которое использует известную топологию фиг. 1 одновитковой 1 индуктивности (одиночного токового кольца). Во внутреннюю область витка 1 из металлической пленки толщиной h₁ введена дополнительная тонкая пленка 5 толщиной h₂<<h₁ из материала, обладающего заданной электропроводностью и не имеющего электрического контакта с витком 1 планарной индуктивности. При использовании такой индуктивности в мощных выходных каскадах величины R, h₂, R₁, R₂ и h₁ должны быть рассчитаны с учетом допустимого теплового энерговыделения.

На фиг. 3 индуктивность фиг. 2 представлена с объемным изображением изолирующей подложки.

На фиг. 4б дан разрез заявляемой конструкции фиг. 4а, соответствующей фиг. 2, по вертикальному сечению АВ. Замкнутыми кривыми со стрелками здесь схематически показаны силовые линии переменного магнитного поля для некоторого момента времени.

На фиг. 5 представлен отдельный чертеж дополнительной тонкой пленки 5 из фиг. 4б, который предназначен для аналитического расчета индуктивности L заявляемого устройства.

Планарная индуктивность фиг. 4 (фиг. 2) содержит как минимум один виток 1 из металлической пленки толщиной h₁, расположенный на изолирующей подложке 2, первый 3 и второй 4 выводы интегральной индуктивности для ее включения в электронную схему. Во внутреннюю область витка 1 из металлической пленки толщиной h₁ введена дополнительная тонкая пленка 5 толщиной h₂<<h₁ из материала, обладающего заданной электропроводностью и не имеющего электрического контакта с витком 1 (токовым кольцом) планарной индуктивности.

В соответствии с п. 2 формулы изобретения, заданная электропроводность материала дополнительной тонкой пленки 5 на фиг. 4 соответствует электропроводности меди. Это позволяет обеспечить частотнонезависимую планарную индуктивность L в диапазоне частот от 0,3 до 30 МГц.

В соответствии с п. 3 формулы изобретения, заданная электропроводность материала дополнительной тонкой пленки 5 на фиг. 4 соответствует электропроводности алюминия. Это позволяет обеспечить частотнонезависимую планарную индуктивность в диапазоне частот от 0,5 до 50 МГц.

В соответствии с п. 4 формулы изобретения, заданная электропроводность материала дополнительной тонкой пленки 5 на фиг. 4 соответствует электропроводности вольфрама. Это позволяет обеспечить частотнонезависимую планарную индуктивность в диапазоне частот от 1 до 100 МГц.

В соответствии с п. 5 формулы изобретения, заданная электропроводность материала дополнительной тонкой пленки 5 на фиг. 4 соответствует электропроводности никеля. Это позволяет обеспечить частотнонезависимую заявляемую планарную индуктивность в диапазоне частот от 1,2 до 120 МГц.

В соответствии с п. 6 формулы изобретения, заданная электропроводность материала дополнительной тонкой пленки 5 на фиг. 4 соответствует электропроводности нихрома. Это позволяет обеспечить частотнонезависимую планарную индуктивность в диапазоне частот от 20 МГц до 2 ГГц.

В соответствии с п. 7 формулы изобретения, заданная электропроводность материала дополнительной тонкой пленки 5 на фиг. 4 соответствует электропроводности электронного кремния. Это позволяет обеспечить частотнонезависимую планарную индуктивность в диапазоне частот от 20 Ггц до 2 ТГц.

Рассмотрим факторы, позволяющие получить более высокие значения L в предлагаемой планарной индуктивности (фиг. 4, фиг. 5).

Индуктивность конструкции L (фиг. 4, фиг. 5) относительно первого 3 и второго 4 выводов складывается из двух составляющих

где L_к - индуктивность витка 1 (токового кольца), расчет которой можно выполнить на основе графиков, представленных в упомянутом выше учебном пособии;

L_ф - потоковая индуктивность дополнительной тонкой пленки 5, расчет которой представлен ниже.

Предположим, что дополнительная тонкая пленка 5 (сплошная, проводящая, немагнитная) находится во внешнем однородном переменном магнитном поле, направленном по оси z, которое имеет только одну компоненту (фиг. 5). Это внешнее для дополнительной тонкой пленки 5 магнитное поле создается витком 1 (токовым кольцом), а его зависимость от времени имеет вид

Для простоты предполагаем, что однородное в пространстве магнитное поле B₀=const не зависит от цилиндрических координат системы (r, ϕ, z) и ограничено в радиальном направлении внешним радиусом цилиндра R дополнительной тонкой пленки 5, а в аксиальном направлении - толщиной дополнительной тонкой пленки 5, обозначенной через h₂.

На фиг. 5 показаны направления векторов и силовых линий внешнего переменного магнитного поля относительно оси дополнительной тонкой пленки 5, а также направления азимутальной компоненты вектора плотности тока Фуко, имеющей единственную компоненту j_ϕ, для некоторого момента времени.

При такой ориентации переменное магнитное поле будет порождать в дополнительной тонкой пленке 5 вихревое электрическое поле, напряженность которого имеет только одну компоненту.

Впервые экспериментальное доказательство существования такой возможной ориентации вихревого электрического поля было обнаружено при создании бетатронов - индукционных ускорителей электронов [35]. В них ускорение электронов осуществляется вихревым электрическим полем, силовые линии которого представляют собой концентрические окружности. В ускорителе они формируются электромагнитом специальной формы (см., например, [35]), а в заявляемом устройстве - дополнительной тонкой пленкой 5 строго определенной толщины h₂<<h₁.

Компоненты полей в системе фиг. 4 (фиг. 5) связаны между собой первым уравнением Максвелла, записанным в проекциях цилиндрической системы координат (r, ϕ, z)

где σ=±1 - уточняющий знаковый множитель. Он включает в себя две возможные ориентации ротора вихревого электрического поля по отношению к исходному направлению вектора В₀. Как показывают эксперименты, проведенные американскими технологами [36], значение σ=-1 возникает в цилиндрических пленках с толщиной десятки и сотни нанометров. В таких сверхтонких пленках токи Фуко формируют частотнонезависимую положительную индуктивность L_ф, которая приводится к выводам 3 и 4 интегральной индуктивности, проявляя свои неожиданные парамагнитные свойства.

Значение σ=+1 реализуется при протекании токов Фуко в проводящих цилиндрах в макроскопических масштабах, которые проявляют свои естественные диамагнитные свойства. Высота проводящего цилиндра h₂ дополнительной тонкой пленки 5 при этом должна быть больше его радиуса R и значительно превышать 1 мкм.

Полагая в (3), что

из уравнения (4) получим уравнение, связывающее Е₀(r) и В₀

где r - радиус текущей точки наблюдения в цилиндрической системе координат, который может изменяться в диапазоне 0÷R.

Решение уравнения (5) для Е₀(r) имеет вид

где С₁ - постоянная величина.

В решении (6) избавимся от особенности при r→0, полагая C₁=0. Это условие приводит к тому, что при В₀=0 величина E₀=0. Из (6) видно, что азимутальная компонента вектора напряженности вихревого электрического поля - линейная функция радиуса r с масштабом

В масштабе напряженности учтено соотношение . Тогда (6) с учетом (7) при 0≤r≤R имеет вид

Электрическое поле в проводящем цилиндре из дополнительной тонкой пленки 5 создает вихревые токи Фуко, плотность тока которых имеет такое же направление в пространстве . Плотность токов Фуко рассчитывается из дифференциального закона Ома

где ρ - удельное электрическое сопротивление дополнительной тонкой пленки 5.

Из (9) видно, что плотность тока Фуко в однородной проводящей среде ρ=const также является линейной функцией радиуса r и также зависит от времени, как и E_ϕ

где j₀(r) связано с масштабом плотности тока

соотношением

Из соотношения (11) видно, что при прочих равных условиях масштаб плотности тока может достигать больших значений на высоких частотах для проводящей среды с малым значением удельного сопротивления ρ. Это будет приводить к нагреву проводящей пленки на высокой частоте.

Вихревой ток, индуцированный во всей дополнительной тонкой пленке 5, может быть получен из интегрирования плотности тока в цилиндрических координатах

где

- масштаб индукционного тока.

Плотность вихревых токов Фуко (10) создает в пространстве цилиндра дополнительной тонкой пленки 5 собственное магнитное поле . Это магнитное поле отклика вещества на внешнее воздействие для исходной ориентации вихревых токов в цилиндрической системе координат имеет одну проекцию В_1z. Направление проекции B_1z во всех точках цилиндра противоположно внешнему магнитному полю В₀. В этом и заключается основная причина диамагнетизма, проявляемого токами Фуко.

Распределение магнитного поля отклика вещества можно рассчитать из второго уравнения Максвелла, записанного в цилиндрической системе координат (r, ϕ, z):

Интегрируя (15) для начального условия B_1z(0) с учетом (10), получим

где

масштаб индукции магнитного поля отклика вещества. Его можно связать с индукцией внешнего магнитного поля безразмерным параметром β

который указывает на влияние магнетизма токов Фуко:

где

- масштаб частоты системы фиг. 4. Из (18) видно, что магнетизм токов Фуко слабо проявляет себя при B→0 и его влияние велико на высоких частотах, когда β>>1. При значении β=1 масштабы индукций магнитных полей одинаковы. Как видно из (20), масштаб частоты системы фиг. 4 не зависит от толщины дополнительной тонкой пленки 5.

Исследуем индуктивные свойства дополнительной тонкой пленки 5. Найдем ее потоковую индуктивность из соотношения

где под <Ф> будем понимать суммарный средний за полупериод поток, пересекающий проводящую дополнительную тонкую пленку 5, который формируется внешним переменным магнитным полем В₀ и магнитным полем отклика вещества В₁. Под значением <i> будем понимать среднее значение переменного тока одного направления за полупериод. Тогда коэффициент пропорциональности между ними (L_Ф) будет играть роль средней потоковой индуктивности дополнительной тонкой пленки 5.

Поток внешнего переменного магнитного поля имеет вид

а поток переменного магнитного поля отклика вещества вычисляется из соотношения

Среднее значение суммарного потока за полупериод имеет вид

где

причем

Подставляя (25) и (26) в (24) с учетом связи (21), получим

Из (27) следует, что средняя за полупериод потоковая индуктивность L_ф дополнительной тонкой пленки 5 не зависит от частоты и может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Как показывают эксперименты, величины R и h₂ должны соответствовать элементарному токовому вихрю, который возбуждается в дополнительной тонкой пленке 5. При соотношении h₂<R толщина дополнительной тонкой пленки 5 h₂ будет совпадать с толщиной элементарного токового вихря в дополнительной тонкой пленке 5 только для случая, когда толщина дополнительной тонкой пленки 5 h₂ меньше одного микрона. При этих условиях реализуется положительная частотно-независимая потоковая индуктивность, а вихревые токи Фуко проявляют свои неожиданные парамагнитные свойства.

Если толщина дополнительной тонкой пленки 5 h₂>1 мкм и условие h₂<R не выполнено, то возможны случаи, когда проводящий цилиндр из дополнительной тонкой пленки 5 находится либо в состоянии отрицательной частотно-независящей индуктивности (токи Фуко проявляют свои диамагнитные свойства наиболее сильно в макроскопических масштабах), либо в состоянии частотно-зависимой динамической индуктивности, которая обращается в нуль на двух характеристических частотах [37-40].

В таблице 1 приведены значения потоковой индуктивности L_ф, рассчитанные из (21), которые можно реализовать в системе на кристалле для дополнительной тонкой пленки 5 радиусом R=50 мкм.

При этом удельное сопротивление дополнительной тонкой пленки 5 не влияет на величину индуктивности между выводами 3 и 4, а изменяет только частотный диапазон, в котором такая индуктивность будет оставаться постоянной. Данный диапазон частот можно оценить из условия 0,1_*<<10_*, где _* - масштаб частоты системы (20) «виток 1 (токовое кольцо) - дополнительная тонкая пленка 5».

Значения масштаба частоты, зависящего от удельного сопротивления дополнительной тонкой пленки 5, рассчитанные из соотношения (20), представлены в таблице 2.

Из таблиц 1 и 2 видно, что использование, например, алюминия при напылении дополнительной тонкой пленки 5 радиусом R=50 мкм и толщиной h₂=100 нм позволяет получить вносимую индуктивность дополнительной тонкой пленки 5 L_ф=50 нГн, приведенную к выводам 3 и 4 заявляемой интегральной индуктивности. Такая дополнительная тонкая пленка 5 будет обеспечивать частотно-независимую индуктивность в диапазоне частот от 0,5 до 50 МГц.

Применение дополнительной тонкой пленки 5 из нихрома для тех же геометрических размеров позволит обеспечить постоянство индуктивности в диапазоне от 20 МГц до 2 ГГц и так далее (см. табл. 2).

В современных СВЧ микросхемах приемлемой для многих применений величиной интегральной индуктивности является значение в 10 нГн. В таблице 3 приведены толщины h₂ дополнительной тонкой пленки 5 в нанометрах и соответствующий ей радиус R в микрометрах, который дает данное фиксированное значение индуктивности дополнительной тонкой пленки 5 в 10 нГн.

Расчеты для толщины дополнительной тонкой пленки 5 больше 500 нм не приводятся в связи с тем, что элементарный токовый вихрь в дополнительной тонкой пленке 5 в таком случае может оказаться нестабильным и перейти в другое частотно-зависимое состояние динамической индуктивности.

Данные табл. 3 указывают на возможность дальнейшего уменьшения площади, занимаемой интегральной индуктивностью с предлагаемой конструкцией. Такое уменьшение может привести к достижению предельных значений поверхностной плотности индуктивности вплоть до 9,8 Гн/м².

Результаты компьютерного моделирования, представленные в таблицах 1 и 2, подтверждают решение поставленной в заявке задачи: при изменении толщины дополнительной тонкой пленки 5 от 50 нм до 350 нм заявляемая индуктивность изменяется в диапазоне от 100 до 14 нГн, что значительно лучше (в 5-50 раз) максимальной индуктивности одновитковых известных конструкций, достигаемых в одном слое [34].

Учитывая формулу (1), заметим, что фактическая индуктивность L системы «виток 1 (токовое кольцо) - дополнительная тонкая пленка 5» фиг. 4 будет несколько больше рассчитанного в табл. 1. Это объясняется тем, что к вносимой индуктивности L_ф дополнительной тонкой пленки 5 (L_п) обязательно добавится индуктивность витка 1 (токового кольца) (L_к), которое для геометрических размеров порядка 50 мкм не превышает значения 1 нГн вплоть до значений частоты порядка 1 ГГц.

Таким образом, предлагаемая конструкция интегральной индуктивности имеет существенные преимущества в сравнении с известными техническими решениями. За счет обнаруженных наноэффектов она позволяет реализовать в 5÷50 раз более высокие значения индуктивности, но только при строго определенных значениях толщин h₂<<h₁. С другой стороны, выбор материала, из которого создается дополнительная тонкая пленка 5, позволяет «сдвигать» в заданный частотный диапазон рабочий диапазон частот заявляемой индуктивности.

Источники информации

1. Патент CN 101707478 В, fig. 3а, fig. 4а.

2. Mohan, S.S. Simple accurate expressions for planar spiral inductors / S.S. Mohan, M.d.M. Hershensen, S.P. Boyd, T.H. Lee // IEEE J. Solid-State Circuits, Oct. 1999. - Vol.34. - Pp. 1419-1424 DOI: 10.1109/4.792620. fig. Id.

3. Rejaei, B. A predictive model for Si-based circular spiral inductors / B. Rejaei, J. L. Tauritz, P. Snoeij. // Proc. Topical Meeting on Silicon Monolithic Integrated Circuits in RF Systems, 1998. - Pp.148-154 DOI: 10.U09/SMIC.1998.750210. fig. 1.

4. Патент US 5760456, fig. 1.

5. Kyranas Α., Papananos Y. Passive On-Chip Components for Fully Integrated Silicon RF VCOs / A. Kyranas, Y. Papananos // Active and Passive Electronic Components. 2002. - Vol.25. - Iss. 1. - Pp.83-95 DOI: 10.1080/08827510211281. fig. 2.

6. Патент US 7512389, fig. 1.

7. Mohan, S.S. Simple accurate expressions for planar spiral inductors / S.S. Mohan, M.d.M. Hershensen, S.P. Boyd, T. H. Lee // IEEE J. Solid-State Circuits, Oct. 1999. - Vol.34. - Pp.1419-1424 DOI: 10.1109/4.792620. fig. la.

8. Патент US 5892425, fig. 1.

9. Cao, Y. Frequency-independent equivalentcircuit model for on-chip spiral inductors / Y. Cao, R. A. Groves, X. Huang, N. D. Zamdmer, J.-O. Plouchart, R. A. Wachnik, T.-J. King, C. Hu // IEEE J. Solid-State Circuits, Mar. 2003. - Vol.38. - Pp.419-426 DOI: 10.1109/JSSC.2002.808285. fig. 1a, fig. 2a.

10. Kuhn, W.B. Analysis of Current Crowding Effects in Multiturn / W.B. Kuhn, N.M. Ibrahim, // IEEE Microwave Theory and Techniques, 2001. - Vol.49. Is. 1. - Pp. 31-38, DOI: 10.1109/22.899959. fig. 3.

11. Патент US 6201287 В1, fig. 10.

12. Патентная заявка US 2001/0045616 A1, fig. 2.

13. Патент US 5559360, fig. 2.

14. Патент US 5635892, fig. 1b.

15. Патентная заявка US 2008/0174398, fig. 1.

16. Патентная заявка US 2009/0261444 A1, fig. 1a.

17. Патентная заявка US 2008/0048760, fig. 1.

18. Kyranas Α., Papananos Y. Passive On-Chip Components for Fully Integrated Silicon RF VCOs / A. Kyranas, Y. Papananos // Active and Passive Electronic Components. 2002. - Vol.25. - Iss. 1. - Pp. 83-95 DOI: 10.1080/08827510211281, fig. 2.

19. Патентная заявка US 2003/0230675 A1, fig. 2.

20. Delatte, P. A low-power 5 GHz CMOS LC-VCO optimized for highresistivity SOI substrates / P. Delatte, G. Picun, L. Demeus, P. Simon, and D. Flandre. // in Proc. Eur. Solid-State Circuit Conf., Grenoble, France, 2005. - Pp. 395-398. DOI: 10.1109/ESSCIR.2005.1541643, fig. 3b.

21. Mohan, S.S. Simple accurate expressions for planar spiral inductors / S.S. Mohan, M.d.M. Hershensen, S.P. Boyd, T. H. Lee // IEEE J. Solid-State Circuits, Oct. 1999. - Vol.34. - Pp. 1419-1424 DOI: 10.1109/4.792620, fig. 1c.

22. Crois, J. An analytical model of planar inductors on lowly doped silicon substrates for analog design up to 3 GHz / J. Crois, P. Kinget, J. Craninckx, and M. Steyeart, // Symp.VLSI Circuits Dig. Tech. Papers, 1996. - Pp.28-29 DOI: 10.1109/VLSIC. 1996.507703, fig. 1b.

23. Патентная заявка US 2010/0117737 A1, fig. 6.

24. Патентная заявка US 2009/0261452 A1, fig. 1.

25. W. Fong, N. H. Design of wide-band CMOS VCO for multiband wireless LAN applications / N. H. W. Fong, J.-O. Plouchart, N. Zamdmer, D. Liu, L. Wagner, C. Plett, and N. G. Tarr. // IEEE J. Solid-State Circuits, Aug. 2003. - Vol.38. - No. 8. - Pp.1333-1342 DOI: 10.1109/JSSC.2003.814440. fig. 1a.

26. Патент US 7310039, fig. 1.

27. Greenhouse, H.M. Design of planar rectangular microelectronic inductors // IEEE Trans. PHP, 1974. - Vol.10. - Pp.101-109 DOI: 10.1109/TPHP. 1974.1134841, fig. 5.

28. Tang, С.-С. Miniature 3D inductors in standard CMOS process / C.-C. Tang, C.-H. Wu, and S.-I. Liu, // IEEE J. Solid-State Circuits, Apr. 2002. - Vol.37. - No. 4. - Pp. 471-4180 DOI: 10.1109/4.991385, fig. 3 (фрагмент M4).

29. Патент US 7259625 B2, fig. 2.

30. Патент US 5313662, fig. 3.

31. Патент US 6310387, fig. 1b.

32. Патентная заявка US 2004/0103522 A1, fig. 1a.

33. Патентная заявка US 2005/0140447 A1, fig. 1.

34. Эннс В.И., Кобзев Ю.М. Проектирование аналоговых КМОП-микросхем. Краткий справочник разработчика. Под ред. канд. техн. наук В.И. Эннса. М.: Горячая линия - Телеком. 2005, с. 455.

35. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1978 г.

36. Widjaja A. and Sarangan A. Method for Fabrication Thin Film Structures with Negative Inductance. Case #: UD-488. US-Patent Pending; Publication # 20090261936. Inventor: Agus-Widjaja, et al.

37. Сапогин В.Г., Прокопенко Н.Н., Манжула В.Г., Сапунцов Н.Е., Нестюрина Е.Е. Индуктивность сплошного проводящего цилиндра с азимутальной плотностью вихревого тока в низкочастотной области. Фундаментальные исследования. №11 (часть 3), 2013. С. 441-446.

38. Сапогин В.Г., Прокопенко Н.Н., Марчук В.И., Манжула В.Г., Будяков А.С. Индуктивные свойства микроскопического проводящего кольца с плотностью вихревого тока азимутального направления. Нано- и микросистемная техника. 2014, №1. С. 22-26.

39. Сапогин В.Г., Прокопенко Н.Н., Сапунцов Н.Е. Индуктивность цилиндрической пленки с азимутальной плотностью вихревого тока. Материалы международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». Т.П. Саратов, Россия, 25-26 сентября 2014 г. С. 358-365.

40. Vladimir G. Sapogin, Nikolay N. Prokopenko and Ludmila K. Sapogina. Solution of Solitary Current Inductor's "Cutoff Frequency Problem" for EHF Applications. The International IEEE Conference on Microwaves, Communications, Antennas and Electronic Systems (COMCAS-2015). David Intercontinental Hotel, 2-4 november 2015, Tel Aviv, Israel. 978-1-4799-7473-3/15/$31.00 ©2015 IEEE. 107774.pdf.