СПОСОБ УМЕНЬШЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНКИ ПОЛЕЗНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И УСТРОЙСТВО, ЕГО РЕАЛИЗУЮЩЕЕ

Предлагаемое изобретение относится к информационно-измерительным устройствам и может быть использовано в вычислительной технике, в системах управления и обработки сигналов.

Предлагаемое устройство исходит из наличия единственной дискретной реализации исследуемого процесса Y₁, Y₂, …, Y_N, где Y_k=Y(t_k), .

Упрощенная математическая модель результатов измерений представляется в виде:

где S_k - полезная составляющая; u_k - аддитивная шумовая составляющая.

Относительно случайной составляющей будем предполагать также, что Mu_k=0, Du_k=σ² и, кроме того, ее значения в разные моменты времени некоррелированы (т.е. cov (u_k, u_s)=0, k≠s), хотя эти условия не являются существенными.

Основная решаемая задача - выделение полезной составляющей в условиях недостаточной априорной информации о статистических характеристиках аддитивного шума и функции полезной составляющей.

Подобная задача может возникнуть: 1) в работе приемо-передающих устройств дальней или космической связи; 2) в радиотехнике при обработке сигналов; 3) в системах цифровой обработки изображений; 4) в метеорологии и экономике при обработке результатов измерений. В тех случаях, когда полезная составляющая S_k, принадлежит к известному классу функций и определяется конечным числом параметров, используются параметрические методы оценивания (сюда входят методы регрессионного анализа, основу которых составляет классическая теория наименьших квадратов). В тех же случаях, когда отсутствует информация о функции полезной составляющей, для оценивания полезной составляющей используются непараметрические методы, такие как сглаживание.

Для практической реализации существующих параметрических и непараметрических методов обработки необходимо использовать высокопроизводительные цифровые устройства (цифровые сигнальные процессоры, программируемые логические матрицы) или гибридные процессорные схемы. В простейшем случае с помощью цифровых устройств реализуют цифровые фильтры с априорно заданными характеристиками, так как их построение является менее ресурсоемким и более простым, чем реализация алгоритма адаптивной цифровой фильтрацией, аппроксимации или интерполяции.

Известен способ скользящего среднего [Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 765 с.]. Это один из самых простых методов сглаживания результатов измерений. Для его использования достаточно одной реализации Y₁, Y₂, …, Y_N исходного процесса.

Для исходной дискретной реализации результатов измерений определяется интервал сглаживания m, т.е. натуральное число m<N. Способ скользящего среднего предполагает запоминание исходной дискретной реализации результатов измерений Y_k, , определение длины m отрезка ряда Y_k, (или ширины «скользящего окна»), для которого производится вычисление среднего арифметического, значений Y₁, Y₂, …, Y_m, замену центрального из значений Y₁, Y₂, …, Y_m найденным средним , сдвиг «скользящего окна» на одно значение вправо (т.е. выбор вместо отрезка Y_k, Y_k+1, …, Y_k+m-1, другого отрезка Y_k+1, Y_k+2, …, Y_k+m), вычисление среднего арифметического выбранных значений реализации, и так до тех пор, пока не будет достигнут правый конец исходной дискретной реализации результатов измерений.

Ширину "окна" выбирают нечетной, т.к. сглаженное значение рассчитывается для центрального значения. Выражение для вычисления сглаженных значений исходной дискретной реализации результатов измерений записывается в виде:

,

где р=(m-1)/2 (m - нечетное число).

Нередко сглаживание на основе скользящего среднего преобразует реализацию результатов измерений, так что мелкие, но важные для анализа детали полезной составляющей (волны, изгибы и т.д.) не выделяются.

Известен способ взвешенного скользящего среднего [Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов. / Под ред. В.В. Федосова. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 399 с.], который отличается от способа простого скользящего сглаживания тем, что значения исходной дискретной реализации результатов измерения, входящие в интервал сглаживания, суммируются с различными весами. Для вычисления оценки используется выражение:

,

где вес p_k определяется с помощью метода наименьших квадратов.

Для взвешенного скользящего среднего недостатком является отсутствие возможности сглаживать значения исходной дискретной реализации результатов измерения на концах реализации. Кроме того, применение этого способа без отрицательных весов вызывает автокорреляцию остатков, т.е. имеет место эффект Слуцкого-Юла.

Способ экспоненциального сглаживания предполагает запоминание входной реализации y₁, y₂, …, y_n случайного процесса, выбор параметра сглаживания α, характеризующего «вес» текущего (самого нового) наблюдения (0<α<1), выбор величины Q₀, характеризующей начальные условия, вычисление сглаженных значений временного ряда по рекуррентным формулам

,

(где k=1, 2, …, n) замену исходных значений y₁, y₂, …, y_n временного ряда сглаженными значениями Q₁, Q₂, …, Q_n.

Сначала при применении экспоненциального сглаживания для временного ряда определяется начальное значение Q₀ сглаженного ряда и параметр сглаживания α. В зависимости от выбора параметра α (в частности, если α близко к нулю) начальное значение Q₀ сглаженного ряда может оказать существенное воздействие на результат обработки временного ряда. В практических рекомендациях по применению экспоненциального сглаживания ([3], с.156) предлагается брать в качестве начального значения Q₀ либо первое значение ряда, либо среднее арифметическое нескольких первых членов ряда, например, Q₀=(y₁+y₂+y₃)/3. С другой стороны, влияние выбора уменьшается с увеличением длины ряда и становится несущественным при большом числе измерений (наблюдений). После выбора Q₀ и α вычисляются сглаженные значения временного ряда, которыми заменяются исходные значения:

.

Признаки способа-аналога, совпадающие с признаками заявляемого технического решения, следующие: дискретизация сигнала по времени, запоминание цифрового сигнала, представление значений сглаженного ряда в виде многочлена от значений исходного ряда, замена исходного временного ряда сглаженным.

Недостатками известного способа являются:

- неопределенность выбора параметра сглаживания α; в отдельных случаях предлагается (необоснованно) определять величину α, исходя из длины сглаживаемого ряда: α=2/(n+1) ([3], с.156); на практике параметр сглаживания часто отыскивают с помощью «сетки», т.е. возможные значения параметра разбиваются «сеткой» с определенным шагом; например, рассматривается сетка значений от α=0,1 до α=0,9 с шагом 0,1, а затем выбирается α, для которого сумма квадратов остатков является минимальной;

- неопределенность выбора начального значения Q₀, что часто приводит к необходимости многократного повторного применения способа экспоненциального сглаживания при другом выборе α и Q₀.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем: способ экспоненциального сглаживания является адаптивным способом фильтрации временных рядов (сигналов), но не является «самонастраивающимся» способом, поскольку выбор параметров α и Q₀ осуществляется субъективно и зависит от опыта и практических навыков исследователя.

Наиболее близким к изобретению является способ выделения полезного сигнала путем размножения оценок его единственной исходной реализации (РАЗОЦ) и устройство для его осуществления (патент №2207622, МПК7 G06F 17/18).

Рассматриваемое устройство-прототип предполагает: 1) запоминание входной реализации Y₁, Y₂, …, Y_n; 2) разбиение входной реализации на подинтервалы случайными числами, имеющими равномерный закон распределения; 3) проверка условия, что подинтервалы включают не менее L значений исходной реализации, если условие не выполняется, то заново генерируются случайные числа разбиения; 4) нахождение на каждом подинтервале входной реализации оценок коэффициентов аппроксимирующего полинома a+bk+ck² с помощью метода наименьших квадратов; 5) повторение процедур, описанных в пунктах 2-4, К раз; 6) нахождение сглаживающей функции как среднего арифметического "кусочно-квадратичных" аппроксимирующих функций в каждый момент времени.

Недостатками известного устройства-прототипа являются:

- невозможность реализации известного способа РАЗОЦ в реальном масштабе времени;

- отсутствие практических рекомендаций по выбору количества интервалов разбиения и количества размножений оценок;

- большие вычислительные затраты.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем:

- для использования способа размножения необходимо запоминать всю входную реализацию.

Устройство для выделения тренда методом размножения оценок его единственной исходной реализации (РАЗОЦ) содержит блок хранения результатов измерений, коммутаторы, генератор случайных чисел, блок устранения связанных значений, блок ранжирования, регистр хранения выборки случайных чисел, блоки аппроксимации, регистры хранения оценок, арифметическое суммирующее устройство, блок хранения оценки полезной составляющей, генератор тактовых импульсов.

Предлагаемый способ состоит в следующем, согласно способу выделения полезной составляющей сигнала РАЗОЦ исходную реализацию необходимо разбить на n интервалов, в каждом из которых содержится m отсчетов различной длины, и они должны быть не меньше заданного минимального порога. Далее по методу наименьших квадратов (МНК) на каждом участке проводится аппроксимация полиномом низкой степени (первой или второй). После чего получаем сглаженную оценку полезной составляющей сигнала как среднее арифметическое аппроксимирующей функции. Усреднение проводится на основании работы авторов [Марчук В.И., Воронин В.В., Шерстобитов А.И. Оценка погрешности выделения полезного сигнала при обработке в условиях ограниченного объема априорной информации. Радиотехника. 2011. №9. С.75-82], в которой был проведен аналитический анализ погрешности аппроксимации в каждом из сечений и показано, что они имеют гауссовский закон распределения. Анализ показал, что с увеличением числа оценок размножения закон распределения погрешностей аппроксимации стремится к гауссовскому закону распределения. Однако это справедливо только для случая, когда погрешности аппроксимации в каждом сечении являются независимыми, так как на практике это условие не выполняется, были проведены исследования на основе имитационного моделирования. В качестве исходного сигнала была выбрана парабола (фиг 1). Далее проведена обработка РАЗОЦ, аппроксимировался сигнал полиномом первой степени. Получилось, что на концах оценка полезной составляющей имеет большую ошибку, чем в центре (фиг 2). Имея полученный результат, было проведено моделирование поверхности, которая отображает оценки плотности распределения погрешности аппроксимации в каждом из сечений исходной выборки результатов измерений (фиг 3). Анализ полученной модели показывает, что при малых и наоборот очень больших количествах оценок закон распределения погрешности аппроксимации значительно отличается от гауссового (фиг 4). Исходя из этого, суть предлагаемого метода заключается в следующем: после получения оценок полезной составляющей необходимо находить не среднее арифметическое, а в каждом сечении исходного нестационарного случайного сигнала находить модальное значение относительно множества полученных оценок, что позволяет уменьшить погрешность выделения функции измеряемого сигнала в среднем на 20%.

Сущность предлагаемого способа и устройства поясняется чертежом (фиг 5).

Устройство для уменьшения погрешности оценки полезной составляющей в условиях априорной неопределенности содержит буферный блок 1, вход которого является информационным входом устройства, а выход подключен к входам блоков хранения результатов измерений 2.n, к управляющим входам которых подключены выходы коммутаторов К, к входом которых подключен выход блока разбиения 3, выходы блоков 2.n подключены к входам блоков аппроксимации 4.n, выходы которых подключены ко входам блоков 5.n хранения оценок исходной реализации, выходы которых подключены к входу блока оценки модальных значений 6.n, выход которого подключены входу блока хранение результирующей оценки полезного сигнала 7, выход которого является выходом устройства. Синхронность работы устройства обеспечивает генератор тактовых импульсов 8.

Устройство для уменьшения погрешности оценки полезной составляющей в условиях априорной неопределенности работает следующим образом. Исходная реализация результатов измерений в каждом из n каналов обработки исходной информации разбивается на m независимых интервалов случайной длины, которые подчиняются равномерному закону. На каждом из m интервалов производится аппроксимация исходной реализации в пределах данного интервала полиномом произвольной степени, коэффициенты которого определяются методом наименьших квадратов. Таким образом, определяются n оценок исходной реализации в каждом из каналов. Результирующая оценка сигнала формируется на основе множеств оценок, полученных для каждого сечения исходного сигнала. Для каждого сечения сигнала, множество полученных оценок рассматривается как совокупность случайных независимых величин, в общем случае, имеющие различную плотность распределения вероятности (фиг.3). Результирующая оценка полезного сигнала формируется путем расчета модальных значений среди оценок в каждом сечении сигнала (фиг.4). и поступает на выход устройства.

Такой способ для уменьшения погрешности оценки полезной составляющей в условиях априорной неопределенности работает следующим образом. В буферный блок записывается исходная реализация (фиг 1), после чего реализация разбивается на интервалы случайной длины и аппроксимируется на каждом из них полиномом произвольной степени, тем самым формируется оценка сигнала при заданном разбиении. Многократным формированием разбиений получаем множество оценок исходной реализации, после чего находим модальное значение среди полученных оценок полезного сигнала, так как закон распределения погрешности аппроксимации значительно отличается от гауссового (фиг 4) Получаем результирующую оценку полезной составляющей входного сигнала, который попадает на вход блока 7, который обеспечивает хранение выделенного полезного сигнала, выход которого является выходом устройства. Синхронность работы устройства обеспечивает генератор тактовых импульсов 8.

Технический результат - уменьшение погрешности оценки функции полезного сигнала при ограниченном объеме априорной информации о статистических характеристиках аддитивного шума и функции полезного сигнала, которая достигается вычислением модальное значение среди полученных оценок полезного сигнала в каждый момент времени.

Технические особенности применения предлагаемого способа заключаются в том, что после размножения оценок на некоторых интервалах результаты не усредняются, а находится мода, такой подход способствует уменьшению погрешности оценки полезного сигнала в условиях априорной неопределенности.

Предлагаемый способ обладает следующими преимуществами:

- Применение предложенного способа уменьшает погрешности оценки полезного сигнала в условиях априорной неопределенности.

- Применение предложенного способа не требует внесения значительных изменений при выделении тренда методом размножения оценок полезной составляющей, но приведет к уменьшению погрешности оценки тренда.