Результат интеллектуальной деятельности: Оценки равномерного распределения точек на плоскости

Критерии оценки равномерного распределения точек на плоскости

Материал статьи относится к области обработки и анализа данных, а именно, вычислительной геометрии, и предназначен для решения задач, возникающих в различных областях знаний –экологии, геологии, географии, экономике, сельском, лесном, городском хозяйствах, географических информационных системах (ГИС), задачах оптимизации и т.д.

На практике существует множество задач, решения которых используются для контроля качества распределения точечных объектов, - направлены на оценку степени равномерного расположения на местности точек с целью полного мониторинга исследуемого района местности, например, определение местоположения базовых автоматических точек наблюдения; выбор мест наблюдения за явлениями природы (погодой, почвой и т.д.); расположение центров обслуживания населения; распределение растений по площади посадки.

Основные задачи. Разработка критериев оценки того, насколько точки равномерно распределены на плоскости; анализ данных о расположении точек для выявления закономерностей.

Постановка проблемы. Пусть на плоскости дано месторасположение точечных объектов. Требуется оценить степень равномерного распределения точечных объектов [1].

Несмотря на огромное количество методов выделим решения поставленной задачи можно выделить основные подходы оценки степени равномерного расположения точек.

1. Известен визуальный способ оценки степени равномерного расположения точечных объектов на плоскости [1].

Недостатки: отсутствие числовой оценки степени равномерности распределения точек на плоскости, невысокая эффективность, неустойчивость результатов, имеет субъективную оценку, применяют для предварительной оценки.

1. Известен способ оценки степени равномерного расположения на местности точечных объектов с целью мониторинга исследуемой области через среднее расстояние между точечными объектами. Предлагается за степень равномерности принять отношение фактического среднего расстояния между точечными объектами к среднему расстоянию между ними при идеальном их расположении [1,2].

Недостатки данного технического решения заключаются в том, что не определено понятие идеальное размещение, неполная характеристика равномерности, отсутствие наглядности, низкая информативность, низкая устойчивость результатов, высокая чувствительность к исходным данным, трудоемкость и невысокая эффективность.

1. Широкоизвестным способом оценки в цифровой картографии является определение степени равномерного расположения на местности точечных объектов с целью мониторинга исследуемой площади с помощью наложения квадратной сетки – палетки на исследуемый участок плоскости. Подсчитывают количество квадратов с одинаковым количеством точечных объектов. Затем определяют их процентную долю в общей площади, результаты суммируют, и общая равномерность распределения точечных объектов оценивают величиной нормируемой суммы [1, 3].

Недостатки данного способа заключаются в том, что существует зависимость результатов от расположения сетки - палетки на исходной площади, неправомерность предположений, принятых способом, низкая эффективность, высокая трудоемкость.

Наиболее близким к заявляемому материалу является способ, включающий наложение палетки на область рассмотрения, дальнейшее движение палетки вдоль направляющих палетки и подсчет точечных объектов в ее ячейках [4].

Недостатки: сложность описания, вызванная переходом к описанию на языке графов; вычислительная сложность, неопределенность ряда действий при реализации, трудоемкость, низкая эффективность, зависимость результатов от расположения сетки – палетки, отсутствие числовой оценки степени равномерности распределения точечных объектов на плоскости, неустойчивость результатов.

Построим вокруг каждого точки окрестность, таким образом, чтобы каждая окрестность содержала, по крайней мере, две точки, включая центральную точку. Такие окрестности называются связанными – если окрестность точки  связана с окрестностью точки , а окрестность точки  связана с окрестностью точки , то окрестность точки  связана с окрестностью точки .

В качестве окрестности можно принять окружность, любой правильный многоугольник.

Задачей предлагаемой модели является разработка способа оценки степени равномерности распределения точек на плоскости, который позволяет оценить степень равномерности распределения точек с учетом их расположения.

Предлагаемое техническое решение поставленной задачи достигается покрытием связанными окрестностями точек исследуемой области исследования.

Техническим результатом предлагаемой модели является расширение арсенала способов оценки степени равномерности распределения точек на плоскости, наглядность, простота, надежность, повышение производительности способа, ручная обработка данных.

Для этого в способе оценки степени равномерности распределения точек плоскости осуществляют построение связанных окрестностей всех точек (центр каждой окрестности находится внутри другой окрестности) определяют максимальный размах количества точек в окрестностях, оценивают степень равномерности распределения точек плоскости величиной

, ,                        (1)

где - максимальное и минимальное число точек в окрестностях.

Чем меньше величина , тем распределение равномернее.

Преимущества. Простой расчет оценки, учет пространственного расположения точек, универсальность, возможная реализуемость оценки на ЭВМ.

Разработанный способ, являясь новым, обеспечивает пространственный геометрический анализ данных с учетом достоинств ранее предлагаемых оценок равномерности.

Результатом предлагаемого способа оценки степени равномерности распределения точек на плоскости является покрытие исходных точек связанным множеством окрестностей заданных точек, количество точек в каждой окрестности и оценка степени равномерного распределения точек по формуле (1).

Предлагаемый способ оценки степени равномерности распределения точек на плоскости основан на том, что если в каждой окрестности примерно одинаковое количество точек, то это равномерное распределение точек плоскости.

Способ позволяет через количество точек в каждой окрестности определить оценку равномерности распределения точек в целом.

Геометрическая иллюстрация работы предлагаемого способа такова.

1. Покрывают изучаемую область равными связанными окрестностями заданных точек.
2. Осуществляют построение точечной диаграммы распределения количества точек по окрестностям.
3. Если столбцы диаграммы приблизительно одной высоты (количество точек в окрестностях точек приблизительно равно), то распределение точек равномерное на плоскости, иначе распределение точек неравномерное.

Оценка степени равномерности распределения точек на плоскости основана на построении связанных окрестностей всех точек и подсчёте точек в окрестностях.

Предлагаемый способ обеспечивает пространственный геометрический анализ данных, сохраняя достоинства ранее предлагаемых оценок степени равномерности распределения точек.

Достоинства способа. Учет структуры данных, простота, наглядность, количественная оценка, устойчивость, графическая интерпретация выводов.

Новизна. Учет геометрической природы данных с сохранением достоинств существующих оценок, выбор центра окрестности, точечная диаграмма.

Реализация предлагаемого способа характеризуется высокой производительностью, простотой, легкостью осуществления и состоит из следующих этапов:

1. Осуществляют построение связанных окрестностей заданных точек;
2. Подсчитывают количество точек в каждой окрестности, включая центральную точку;
3. Определяют максимальное и минимальное количество точек в окрестностях -  ;
4. Вычисляют степень распределения точек на плоскости по формуле

, .

Чем меньше , тем больше степень равномерного распределения точек.

На практике такой способ может быть востребован при оценке степени равномерности распределения точечных объектов, например, при автоматическом анализе электронных географических карт для определения степени равномерности размещения датчиков, в сельском хозяйстве при размещении растений на участке их произрастания с целью оптимизации дальнейшего роста, лесоводстве и ботанике для изучения распространения видов, экологии для анализа структуры сообществ.

Заключение. Представленный краткий обзор представляет множество способов оценок степени равномерности распределения точек плоской поверхности - традиционных способов по индексу Кини, по индексу Мориса, на основе гистограмм, визуализации тепловых карт, вариационных рядов, тестов статистики, сеток - палеток и т.д. Представлено построение оценки степени равномерности распределения точечных объектов на плоской поверхности, сохраняющее достоинства ранее предлагаемых способов.

Литература

1. Айвазян, С.А. Классификация многомерных наблюдений / С.А. Айвазян, З.И. Бежаева, О.В. Староверов. – Москва: Статистика, 1974. – 240 с.
2. Титов В.А. Вестник АлтГАУ, 2003. - №1.–С.21-23.
3. Бахмутов В.А., Сб. науч. тр. Саратовского СХИ, 1977.- Вып. 98. - С. 3-13.
4. Алчинов А.И., Беклемишев Н.Д., Кекелидзе В.Б. Методы цифровой фотограмметрии. Технология «Талка». М.: МГУ, 2007. – 259 с.