УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследование переходных процессов в сложных динамических системах и, в частности, в сложных системах регулирования часто представляет непреодолимые математические трудности. Поэтому очень важно иметь устройство, которое можно было бы превращать в эквивалентную модель любой динамической системы и, пользуясь ею, исследовать необходимые для наиболее правильного выбора параметров отдельные звенья системы, например, параметры регуляторов.

Изобретение касается устройства, которое можно сделать эквивалентной моделью любой динамической системы с n степенями свободы, описываемой системой диференциальных уравнений вида:

где через х₁, х₂, …x_n обозначены отклонения обобщенных координат рассматриваемой динамической системы от их значений соответетвующих некоторому состоянию равновесия, через - операторы вида:

и через р - оператор диференцирования по времени. Коэфициенты m_{i, k} r_ik, c_ikc могут быть постоянными или переменными, зависящими от времени t или от самих обобщенных координат.

Устройство для решения уравнений этого вида будет в дальнейшем называться электродинамической моделью. Оно состоит из следующих основных элементов: I - электродинамические маятники; II - диференциаторы; III - интеграторы; IV - умножители; V - регистраторы; VI - устройства для задания нелинейных коэфициентов; VII - устройство для задания коэфициентов, зависящих от времени.

Элементы I, III, V, VI, VII известны и были ранее описаны в авторском свидетельстве №57020. Умножитель IV известен как обычный пушпульный усилитель, у которого зависимость между сеточным напряжением и изменением анодного тока имеет квадратичный характер, т.е.;

Если на сетку лампы пушпульного каскада Л₁ подается напряжение U₁+U₂, а на сетку лампы Л₂ напряжение U₁-U₂, то на выходе получается напряжение, пропорциональное

(U_l+U₂)²-(U₁-U₂)=4U₁U₂,

т.е. пропорциональное произведению напряжений U₁ и U₂.

Настоящим изобретением предлагается для связи отдельных электродинамических маятников применять диференциаторы в виде последовательно соединенных емкости и омического сопротивления, включенных между двумя каскадами усиления с обратной связью.

Снимаемое с сопротивления напряжение пропорционально производной сигнала по времени.

На фиг. 1 изображена эквивалентная схема диференциатора, а на фиг. 2 - полная.

На фиг. 1 приведена эквивалентная схема левой части диференциатора до зажимов 3 и 4 схемы на фиг. 2. Здесь через R_i обозначено внутреннее сопротивление лампы Л₁. Подаваемое на вход лампы Л₁ напряжение U_g (8) складывается из внешнего напряжения U₁ и напряжения обратной связи nU, где U - переменная составляющая напряжения на зажимах 5 и 6, а n - коэфициент обратной связи. R и С - сопротивление и емкость цепи диференциатора. Для схемы диференциатора действительны уравнения:

Подстановка (3) в (1) дает:

Диференцируя (4), можно написать:

и, следовательно, чтобы i было пропорционально необходимо удовлетворение условия:

откуда:

Если условие (7) удовлетворено, то уравнение (5) упростится:

Отсюда следует, что ток i будет точно пропорционален производной от напряжения U₁, т.е. если на сетку лампы будет подано напряжение U₁, то на зажимах 3 и 4 будет действовать напряжение:

Следовательно, на зажимах 7 и 8 (фиг. 2) также будет напряжение, пропорциональное производной

Чтобы пояснить применение устройства для исследования переходных процессов в динамических системах, ниже рассмотрена динамическая система с тремя степенями свободы, подвергаемая регулированию двух одновременно действующих регуляторов, осуществляющих сложные законы регулирования.

Пусть диференциальные уравнения динамической системы имеют вид:

а уравнения регуляторов:

где через f₁(t) и f₂(t) обозначены возмущающие воздействия, через y₁ и у₂ - регулирующие воздействия, через a₂p²+a₁p+a₀ и b₂p²+b₁p+b₀ - операторы, характеризующие искажающие эффекты регуляторов, а через п₂р²+п₁р+п₀+n_-1р^-1 и V₂p²+V₁p+V₀+V_-1p^-1 - операторы законов регулирования, осуществляемых регуляторами.

Перепишем уравнения (III) в следующем виде:

Каждое из уравнений (IV) и (V) имеет вид:

где F_i равны правым частям уравнений (IV) и (V).

В указанном выше авторском свидетельстве показано, что решение уравнения вида (VI) может быть получено при помощи электродинамического маятника. Таким образом, для решения системы (V) и (IV) необходимо взять пять электродинамических маятников, на каждый из которых действует внешняя сила, равная правой части соответствующего уравнения. Так, например, на первый маятник будет действовать внешняя сила:

и т.д.

Остается рассмотреть способ получения этой внешней силы. Пусть коэфициенты m₁₃, r₁₃, с₁₃ постоянны, а коэфициенты m₁₂, r₁₂, с₁₂ зависят от неизвестной функции х₂. Известно, что электродинамические маятники снабжены усилителями, дающими на выходе напряжения, пропорциональные углу отклонения x_i и скорости движения Этими усилителями можно воспользоваться для получения составляющих внешней силы F₁ вида и

Чтобы получить составляющую вида необходимо продиференцировать напряжение .

Это может быть осуществлено при помощи описанного выше диференциатора. Получение составляющих f₁(t) и у₁ также не может вызвать никаких затруднений.

Остается рассмотреть способ получения составляющих

Последняя из этих составляющих может быть получена при помощи приспособления для задания нелинейных коэфициентов. Для получения составляющей необходимо воспользоваться умножителем, производящим умножение напряжения r₁₂(x₂) на напряжение .

Для получения последней составляющей необходимо предварительно продиференцировать напряжение , а затем умножить при помощи умножителя напряжение на напряжений m₁₂(х₂).

Алгебраическая сумма напряжений на выходе всех перечисленных выше элементов будет пропорциональна F₁. Это напряжение можно использовать для получения пары сил, равной F₁, действующей на первый маятник, если через одну из рамок, укрепленных на оси первого маятника, пропустить, ток, пропорциональный F₁. Остальные внешние силы, действующие на другие маятники, могут быть получены точно таким образом.