Результат интеллектуальной деятельности: СПОСОБ АВТОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СМЕШАННОЙ (ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ГРУПП ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ) АККУМУЛЯТОРНОЙ БАТАРЕИ И УСТРОЙСТВО ДЛЯ ЕГО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ

Изобретение относится к области электротехники и может быть использовано для контроля состояния аккумуляторных источников питания, как отдельных аккумуляторов, так и батарей, состоящих из m последовательно соединенных групп из n параллельно включенных элементов.

Знание электрических параметров аккумуляторных батарей позволяет производить диагностирование технического состояния на различных стадиях эксплуатации, а также принимать решение о их восстановлении или списании. Это в первую очередь важно для Li-ion аккумуляторов, применяемых в системах автономного электроснабжения на транспортных средствах, для которых характерен критерий минимизации массогабаритных показателей элементов данных систем.

Особенность применения аккумулятора определяется:

А. Выбором типа элемента.

Так для Li-ion аккумулятора эксплуатация характеризуется [1, 2, 3] следующим:

1. Разряд Li-ion аккумулятора ниже 3 В (примерно, до 2.2 В) (данный порог варьируется в пределах 0,5 В в зависимости от химического состава и геометрической формы аккумулятора) приводит к необратимым химическим процессам внутри аккумулятора, что делает его непригодным для дальнейшего использования. При разряде Li-ion аккумулятора нужно контролировать его напряжение и силу тока в цепи.

2. Li-ion аккумуляторы имеют низкую устойчивость к перезаряду. На отрицательном электроде на поверхности углеродной матрицы при значительном перезаряде становится возможным осаждение металлического лития, обладающего большой реакционной способностью к электролиту, а на катоде начинается активное выделение кислорода. Возникает угроза теплового разгона, повышения давления и разгерметизации. Поэтому заряд Li-ion аккумуляторов можно вести только до напряжения, рекомендуемого производителем. При увеличенном зарядном напряжении ресурс аккумуляторов снижается.

3. Работа аккумулятора на токах, отличающихся от нормального режима, заданного в документации производителем аккумуляторов, и превышающих его емкость, возможна в кратковременных режимах. При коротком замыкании в литий-ионном аккумуляторе возникает бурная реакция взрывного типа, получившая название "вентиляция с выбросом пламени".

Для внутренней защиты Li-ion аккумулятора используют дополнительно введенный в аккумулятор слой сепаратора. В этом случае, при коротком замыкании из-за прорастания дендритов лития к положительному электроду, за счет локального разогрева слой сепаратора подплавляется и становится непроницаемым, предотвращая дальнейшее прорастание дендритов.

Однако для повышения безопасности эксплуатации Li-ion аккумуляторов в составе батареи обязательно применяется также и внешняя электронная защита, цель которой не допустить возможность перезаряда и переразряда каждого аккумулятора от внутренних коротких замыканий (а в отдельных случаях - и от внешних коротких замыканий) и чрезмерного разогрева.

В. Структура соединения элементов в батарее.

В большинстве случаев аккумуляторы используются группами или батареями, количество элементов в батарее и их величина зависят от требований, предъявляемых эксплуатацией. Два фактора определяют выбор схемы соединения элементов: необходимый уровень напряжения, необходимая емкость. Когда элементы соединены последовательно, то напряжение всех элементов складывается, но емкость батареи последовательно соединенных элементов не превышает емкости одного элемента [Патент RU на изобретение №2470314, МПК G01R 31/36, опубл. 20.12.2012]. Если элементы соединены параллельно [Патент RU на изобретение №2485639, МПК Н01М 10/48, опубл. 27.04.2011], то напряжение батареи не выше напряжения одного элемента, но емкость такой батареи эквивалентна сумме емкостей отдельных элементов.

При смешанном соединении элементы могут быть собраны в параллельные группы, а затем группы соединяют последовательно. Это способствует уравниванию нагрузок отдельных аккумуляторов и снижает общее сопротивление межэлементных и межгрупповых соединений.

Известен способ автоматического контроля технического состояния элементов последовательной аккумуляторной батареи [Патент RU на изобретение №2470314, МПК G01R 31/36, опубл. 20.12.2012], включающий обработку информации результатов контроля в N+1 выходных зажимах подключения контролируемых аккумуляторов в n контрольных точках, для этого нумеруют последовательно контрольные точки, масштабируют токи от каждого контролируемого аккумулятора аккумуляторной батареи с коэффициентом масштабирования от каждой контрольной точки пропорционально номеру контрольной точки i, вычисляют предельное значение напряжение U_Σпр, соответствующее случаю, когда исправны все контролируемые аккумуляторы аккумуляторной батареи

токи от каждой контрольной точки суммируют в точке суммирования и передают через канал связи в орган обработки информации, где преобразуют суммарный ток в пропорциональное напряжение U_Σ и вычитают данное напряжение из предельного значения напряжения U_Σпр, а по величине результирующего напряжения U_Σпр-U_Σ определяют номер элемента в аккумуляторной батарее, в котором возникло короткое замыкание, по выражению

где , Е - напряжение аккумуляторов в батарее, R - величина элемента масштабирования (резистора).

Недостаток данного способа определяется тем, что по данному способу достоверно отслеживается отказ элемента в последовательной аккумуляторной батарее, т.е. данный способ имеет ограничение в случае смешанного соединения элементов аккумуляторной батареи.

Известно устройство автоматического контроля технического состояния элементов последовательной аккумуляторной батареи по данному способу [Патент RU на изобретение №2470314, МПК G0LK 31/36, опубл. 20.12.2012], содержащее N+1 выходных зажимов для подключения контролируемых аккумуляторов в n контрольных точках и орган обработки информации, вход которого подключен к выходу канала связи, причем устройство содержит блок суммирования токов с коэффициентом масштабирования по каждому входу, пропорциональным номеру этого входа, i-й вход блока суммирования токов подключен к i-й точке контроля технического состояния соответствующих элементов аккумуляторной батареи, а выход блока суммирования токов соединен с входом канала связи, орган обработки информации содержит блок преобразования тока в напряжение, аналоговый и цифровой вычитатели, задатчик напряжения и аналого-цифровой преобразователь, причем вход органа обработки информации соединен с входом блока преобразования тока в напряжение, выход которого соединен с первым входом аналогового вычитателя, ко второму входу которого подключен задатчик напряжения, к информационным входам которого подключены входы задания предельного значения напряжения, а выход аналогового вычитателя - к входу аналого-цифрового преобразователя, выход которого подключен к первым входам цифрового вычитателя, вторые входы которого соединены с входами задания общего количества элементов в аккумуляторной батарее, а выход - к выходу органа обработки информации, являющемуся выходом устройства.

В устройстве автоматического контроля технического состояния элементов аккумуляторной батареи блок суммирования токов состоит из n равных резисторов, первый конец i-го резистора подключен к i-му входу блока суммирования токов, а вторые концы всех резисторов блока суммирования токов объединены и подключены к его выходу.

Недостаток данного устройства-прототипа определяется тем, что в данном устройстве достоверно отслеживается отказ элемента в последовательной аккумуляторной батарее, т.е. устройство имеет ограничение в случае смешанного соединения элементов аккумуляторной батареи.

Наиболее близким техническим решением по способу (прототипом) является способ автоматического контроля технического состояния элементов параллельной аккумуляторной батареи [Патент RU на изобретение №2485639, МПК H01M 10/48, опубл. 20.06.2013], сводящийся к обработке информации результатов контроля в n+1 выходных зажимах подключения контролируемых аккумуляторов в n контрольных точках, а также нумеруют последовательно контрольные точки, масштабируют токи от каждого элемента аккумуляторной батареи с коэффициентом масштабирования от каждой контрольной точки пропорционально номеру контрольной точки i, вычисляют предельное значение напряжения U_Σпр, соответствующее случаю, когда исправны все элементы контролируемой аккумуляторной батареи

масштабированные токи от каждой контрольной точки суммируют в точке суммирования и передают через канал связи в орган обработки информации, где преобразуют суммарный ток в пропорциональное напряжение U_Σ и вычитают данное напряжение из предельного значения напряжения U_Σпр, а по величине результирующего напряжения U_Σпр-U_Σ идентифицируют номер элемента в аккумуляторной батарее, в котором возникло короткое замыкание.

Недостаток данного способа-прототипа определяется тем, что в данном способе достоверно отслеживается отказ элемента в параллельной аккумуляторной батарее, т.е. способ имеет ограничение в случае смешанного соединения элементов аккумуляторной батареи.

Наиболее близким техническим решением по устройству (прототипом) является устройство автоматического контроля технического состояния элементов параллельной аккумуляторной батареи [Патент RU на изобретение №2485639, МПК H01M 10/48, опубл. 20.06.2013], содержащее n+1 выходных зажимов для подключения контролируемых аккумуляторов в n контрольных точках и орган обработки информации, вход которого подключен к выходу канала связи, а также блок суммирования токов с коэффициентом масштабирования по каждому входу, пропорциональным номеру этого входа, причем i-й вход блока суммирования токов подключен к i-й точке контроля технического состояния соответствующих элементов аккумуляторной батареи, а выход блока суммирования токов соединен с входом канала связи, орган обработки информации содержит блок преобразования тока в напряжение, вычитатель, задатчик напряжения и аналого-цифровой преобразователь, причем вход органа обработки информации соединен с входом блока преобразования тока в напряжение, выход которого соединен с первым входом вычитателя, ко второму входу которого подключен задатчик напряжения, входы которого подключены к входам задания предельного значения напряжения, а выход вычитателя соединен с входом аналого-цифрового преобразователя, выход которого подключен к выходу органа обработки информации, являющемуся выходом устройства, причем блок суммирования токов состоит из n резисторов, причем величина i-го резистора обратно пропорциональна его номеру i, первый конец i-го резистора подключен к i-му входу блока суммирования токов, а вторые концы всех резисторов блока суммирования токов объединены и подключены к его выходу.

Недостаток данного устройства-прототипа определяется тем, что в данное устройство достоверно отслеживается отказ элемента в параллельной аккумуляторной батарее, т.е. устройство имеет ограничение в случае смешанного соединения элементов аккумуляторной батареи.

Задачей, решаемой предлагаемым изобретением, является расширение функциональных возможностей. Техническим результатом является обеспечение высокой достоверности поэлементного контроля состояния батареи при отказе элемента аккумуляторной батареи в случае смешанного соединения элементов аккумуляторной батареи во всем диапазоне режимов работы системы автономного электроснабжения.

Обобщая проведенный выше анализ особенностей функционирования Li-ion аккумуляторной батареи можно отметить, что при организации процесса контроля состояния Li-ion аккумуляторной батареи должен быть использован принцип параллельного контроля, сводящийся к тому, что: любой аккумулятор батареи должен быть доступен для контроля как короткого замыкания, так и превышения в нем тока в произвольный момент времени. В связи с этим особенностью данного решения является то, что при передаче информации о работоспособности гальванически связанных аккумуляторов, полученной в точках их контроля, необходимо использовать параллельный принцип организации процесса контроля, при котором структурно аккумуляторная батарея состоит из пронумерованных аккумуляторов, а процессу контроля в произвольный момент времени доступен любой аккумулятор батареи.

Для решения данной задачи в способе автоматического контроля технического состояния элементов смешанной (последовательное соединение параллельных групп элементов) аккумуляторной батареи, включающем обработку информации результатов контроля в N+1 выходных зажимах подключения контролируемых аккумуляторов в N контрольных точках, нумерацию последовательно контрольных точек i=1, …, N, масштабирование токов от каждого элемента аккумуляторной батареи с коэффициентом масштабирования для каждой контрольной точки пропорционально номеру контрольной точки, масштабированные токи от каждой контрольной точки суммируют в точке суммирования и передают через канал связи в орган обработки информации, вычисляют предельное значение тока, соответствующее случаю, когда исправны все элементы контролируемой аккумуляторной батареи, вычитают из предельного значения измеренный суммарный ток и по величине результирующего тока

I_Σпред-I_{Σтекизм}

идентифицируют номер элемента в аккумуляторной батарее, в котором возникло короткое замыкание, причем нумерацию последовательно контрольных точек i=1, …, N осуществляют двуиндексным номером путем присвоения индекса номера l последовательных групп параллельных элементов в аккумуляторной батарее от 1 до m а также присваивают индекс номера k каждому параллельному элементу последовательных групп от 1 до и причем

m×n=N,

при масштабировании токов от каждого элемента аккумуляторной батареи выбирают коэффициент масштабирования тока от каждой контрольной точки равным k×l, предельное значение тока, соответствующее случаю, когда исправны все элементы контролируемой аккумуляторной батареи, определяют по выражению

где R₁ - начальное сопротивление масштабирования токов, E₁ - напряжение элемента аккумуляторной батареи, а в органе обработки информации для идентификации номера элемента в аккумуляторной батарее, в котором возникло короткое замыкание, последовательно задают номер l от 1 до m последовательных групп параллельных элементов и в каждой группе номер параллельных элементов k от 1 до n и по выражению

вычисляют разницу предельного и текущего значения токов, сравнивают данное вычисленное значение разности ΔI_выч между предельным I_Σпред и текущим I_{Σтеквыч} суммарными токами с измеренным значением разности ΔI_изм между предельным I_Σпред и текущим I_{Σтекизм} суммарными токами и при условии

ΔI_выч-ΔI_изм≅0,

поиск номеров отказавшего элемента прекращается, и полученные при этом значения l и k принимаются равными номерам отказавшего элемента.

Кроме этого устройство автоматического контроля технического состояния элементов смешанной (последовательное соединение групп параллельных элементов) аккумуляторной батареи содержит N+1 выходных зажимов для подключения контролируемых аккумуляторов в N контрольных точках и орган обработки информации, вход которого подключен к выходу канала связи, а также блок суммирования токов с коэффициентом масштабирования по каждому входу, пропорциональным номеру этого входа, причем i-й вход блока суммирования токов подключен к i-й точке контроля технического состояния соответствующих элементов аккумуляторной батареи, а выход блока суммирования токов соединен с входом канала связи, орган обработки информации содержит вычитатель, ко второму входу которого подключен задатчик, первый вход которого подключен к входу задания значения количества элементов в группе параллельно соединенных элементов n, блок суммирования токов состоит из резисторов, величина i-го резистора обратно пропорциональна его номеру i, первый конец i-го резистора подключен к i-му входу блока суммирования токов, а вторые концы всех резисторов блока суммирования токов объединены и подключены к его выходу, причем орган обработки информации дополнительно содержит вычислитель, пороговый элемент, генератор импульсов, первый и второй делитель с устанавливаемым коэффициентом деления, элемент задержки импульсов и блок выходных портов, причем к первому входу вычитателя подключен вход органа обработки информации, к первому входу задания вычислителя подключен вход задания значения количества элементов в группе параллельно соединенных элементов n, а ко второму входу задания вычислителя и ко второму входу задатчика подключен вход задания значения количества групп m, выход вычитателя подключен к аналоговому входу вычислителя и через пороговый элемент к входу "ПУСК" вычислителя и к входу "ПУСК" генератора импульсов, вход "ОСТАНОВ" последнего соединен с выходом вычислителя и через элемент задержки импульса с входом включения блока выходных портов, выход генератора импульсов соединен со счетным входом первого делителя с устанавливаемым коэффициентом деления, выход переноса которого соединен со счетным входом второго делителя с устанавливаемым коэффициентом деления, входы задания коэффициента деления которых подключены к входами задания значений количества параллельных групп m в аккумуляторной батарее и количества элементов в группе n, информационные выходы обоих делителей с устанавливаемым коэффициентом деления подключены к первым и вторым информационным входам вычислителя, а через первые и вторые информационные входы блока входных портов с выходами органа обработки информации, которые являются выходами всего устройства автоматического контроля технического состояния элементов аккумуляторной батареи.

На фиг. 1 представлена принципиальная блок-схема устройства, а на фиг. 2 приведена схема замещения аккумуляторной батареи, необходимая для анализа параллельного процесса контроля аккумуляторной батареи.

Для анализа параллельного процесса контроля аккумуляторной батареи воспользуемся схемой замещения группы параллельных ветвей с источником одной ветвью фиг. 2

где R_k - сопротивление масштабирования токов k-й параллельной ветви, E_k - напряжение элемента аккумуляторной батареи k-й параллельной ветви.

При этом суммарный ток в системе контроля аккумуляторной батареи будет равен

Поскольку напряжение в группах по уровням меняется в зависимости от номера l в группе последовательных элементов, а ток от группы к группе меняется, изменяя масштабируемое сопротивление обратно пропорционально с коэффициентом k, то

Учтя выражение, приведенное в [4], предельное значение тока на выходе системы контроля аккумуляторной батареи, т.е. при условии, что все элементы исправны, равно

Текущее значение тока I_Σтек, при всех исправных элементах в батарее, будет равно предельному значению тока, т.е. при 100% исправности элементов аккумуляторной батареи

I_Σпред-I_Σтек=0.

В этом случае выражение для текущего значения тока для произвольного элемента l_jk_i может быть представлено в виде

При отказе элемента l_jk_i в батарее данное выражение преобразуется к виду

Вычтя из предельного значения тока I_Σпред текущее значение тока I_Σтек, получаем

Окончательно после ряда простых преобразований получаем

Устройство содержит контролируемую аккумуляторную батарею (АБ) с N+1 выходных зажимов для подключения N контролируемых аккумуляторов в N контрольных точках, блок суммирования токов 1, канал связи 2, орган обработки информации 3. Орган обработки информации 3 в свою очередь включает вычитатель 4, задатчик 5, пороговый элемент 6, вычислитель 7, элемент задержки импульса 8, генератор импульсов 9, первый 10 и второй делитель 11 с устанавливаемым коэффициентом деления, блок выходных портов 12.

Входы блока суммирования токов 1 подключены к точкам контроля технического состояния элементов аккумуляторной батареи (АБ), а выход - к входу канала связи 2. Выход канала связи 2 подключен к входу органа обработки информации 3. В органе обработки информации 3 его вход соединен с первым входом вычитателя 4, второй вход которого подключен к выходу задатчика 5. Первый вход задатчика 5 соединен с первым входом задания вычислителя 7 и с входом задания количества элементов в группе параллельно соединенных элементов n аккумуляторной батареи, а второй вход задатчика 5 со вторым входом задания вычислителя 7 и с входом задания количества групп m устройства автоматического контроля технического состояния элементов аккумуляторной батареи. Выход вычитателя 4 соединен с входом порогового элемента 6 и с аналоговым входом вычислителя 7. Выход порогового элемента 6 соединен с входом "ПУСК" вычислителя 7 и с входом "ПУСК" генератора импульсов 9, вход "ОСТАНОВ" которого соединен с выходом вычислителя 7 и через элемент задержки импульсов 8 с входом включения блока выходных портов 12. Выход генератора импульсов 9 соединен со счетным входом первого делителя 10 с устанавливаемым коэффициентом деления, выход переноса которого соединен со счетным входом второго делителя 11 с устанавливаемым коэффициентом деления. Входы задания коэффициента деления делителей 10, 11 соединены с входами задания количества элементов в группе параллельно соединенных элементов n аккумуляторной батареи и количества групп m в аккумуляторной батарее. Информационные выходы обоих делителей 10, 11 с устанавливаемым коэффициентом деления подключены к первым и вторым информационным входам вычислителя 7, а через первые и вторые информационные входы блока входных портов 12 с выходами органа обработки информации 3, которые являются выходами устройства автоматического контроля технического состояния элементов аккумуляторной батареи.

Предложенное устройство работает следующим образом. Для автоматического контроля технического состояния элементов аккумуляторной батареи (АБ) через N+1 выходных зажима подключены контролируемые аккумуляторы к N контрольным точкам. В начальном состоянии нумеруют последовательно контрольные точки i=1, …, N двуиндексным номером путем присвоения индекса номера k в группе параллельно соединенных элементов в аккумуляторной батарее от 1 до n а также присваивают индекс номера l каждой из последовательных групп параллельно соединенных от l до m причем

m×n=N.

Масштабируют токи от каждого элемента аккумуляторной батареи с коэффициентом масштабирования для каждой контрольной точки пропорционально k×l.

В исходном состоянии в устройстве автоматического контроля технического состояния элементов смешанной (последовательное соединение групп параллельных элементов) аккумуляторной батареи полученные значения m и n устанавливают на входах задания количества в группе параллельно соединенных элементов n в аккумуляторной батарее и количества последовательных групп параллельно соединенных элементов m задатчика 5 для вычисления предельного значения тока, соответствующего случаю, когда исправны все элементы контролируемой аккумуляторной батареи, по выражению

Кроме этого значения n и m устанавливают на входах задания первого 10 n и второго 11 m делителя с устанавливаемым коэффициентом деления, значение n и m устанавливают также на входе задания вычислителя 7.

Масштабированные токи от каждой контрольной точки суммируют в блоке суммирования токов 1 с коэффициентом масштабирования тока от каждой контрольной точки, равным k×l в точке суммирования, и передают через канал связи 2 в орган обработки информации 3. В органе обработки информации 3 при возникновении короткого замыкания одного из элементов в аккумуляторной батарее в вычитателе 4 вычитают из предельного значения измеренный суммарный ток и по величине результирующего тока

ΔI_изм=I_Σпред-I_{Σтекизм}

и на выходе вычитателя 4 формируется сигнал ΔI_изм. При появлении ΔI_изм на выходе вычитателя 4 срабатывает пороговый элемент 6, который включает по входу "ПУСК" вычислитель 7 и по входу "ПУСК" генератор импульсов 9. Импульсы с выхода генератора импульсов 9 поступают на счетный вход первого делителя 10 с устанавливаемым коэффициентом деления, последовательно увеличивая его объем. При достижении объема первого делителя 10 с устанавливаемым коэффициентом деления, равного устанавливаемому коэффициенту деления, на его выходе переноса формируется импульс, который поступает на счетный вход второго делителя 11 с устанавливаемым коэффициентом деления. При этом последовательно увеличивают номер элемента k от 1 до n в группе параллельно соединенных элементов в делителе 10 с устанавливаемым коэффициентом деления, а затем номер одной из последовательных групп l от 1 до m в делителе 11 с устанавливаемым коэффициентом деления.

Для заданного по входу задания количества элементов в группе n вычислителя 7 параметра n и для заданного по входу задания количества групп m вычислителя 7 параметра m, а также для каждого значения k с выходов первого делителя 10 с устанавливаемым коэффициентом деления и значения l с выходов второго делителя 11 с устанавливаемым коэффициентом деления по выражению

вычисляют разницу предельного и текущего значений токов.

Сравнивают в вычислителе 7 данное вычисленное значение разности ΔI_выч между предельным I_Σпред и текущим I_{Σтек выч} суммарными токами с измеренным значением разности ΔI_Σизм между предельным I_Σпред и текущим I_{Σтекизм} суммарными токами.

При условии

ΔI_выч-ΔI_изм≅0,

на выходе вычислителя 7 формируется импульс, который поступает на вход "ОСТАНОВ" генератора импульсов 9, и поиск номеров отказавшего элемента прекращается. Полученные при этом значения k и l в первом 10 и втором 11 делителях с устанавливаемым коэффициентом деления в виде кодов поступают на входы блока входных портов 12. Данный выходной импульс с выхода вычислителя 7, задержанный на элементе задержки импульса 8, открывает блок входных портов 12 и на его выходы поступают коды с входов блока входных портов 12, которые принимаются равными номерам l и k и идентифицируют номер элемента в аккумуляторной батарее, в котором возникло короткое замыкание.

Таким образом, осуществляется контроль состояния аккумуляторной батареи через поэлементный контроль аккумуляторов А с идентификацией номеров отказавшего элемента аккумуляторной батареи, что позволяет поддержать аккумуляторные батареи в готовности к применению при работе системы автономного электроснабжения. Причем любой элемент аккумуляторной батареи доступен для контроля в любой момент времени. Предложенный способ контроля состояния батареи Li-ion аккумуляторов может быть использован и для контроля состояния других типов аккумуляторных батарей. При получении информации о неисправном аккумуляторе на выходе устройства формируется номер отказавшего аккумулятора для принятия решения об устранении аварийной ситуации.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Таганова А.А., Бубнов Ю.И., Орлов С.Б. Герметичные химические источники тока. Элементы и аккумуляторы. Оборудование для испытаний и эксплуатации. СПб.: Химиздат - 2005. - 262 с.

2. Скундин A.M. Литий-ионные аккумуляторы: современное состояние, проблемы и перспективы // Электрохимическая энергетика - 2001. Т. 1. С. 5-15.

3. Кедринский И.А., Дмитриенко В.Е., Грудянов И.И. Литиевые источники тока. М.: Энергоиздат - 1992 - 247 с.

4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы. - 1963. - С. 15. формула 0.121.1.